Há ou à

As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas.

Há é a forma conjugada do verbo haver na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo:

Há muito tempo;
Há muitos anos;
Há vagas de emprego;
Há coisas que não mudam.

À é a contração da preposição a com o artigo definido feminino a (a + a = à):

à noite;
à exceção;
à vontade;
à toa;
à parte.

Quando usar há?

Devemos usar há quando o verbo haver tem o significado de existir e se apresenta como verbo impessoal, sem sujeito. Nessa situação, deve ser conjugado apenas na 3.ª pessoa do singular, independentemente da restante oração estar no singular ou no plural.

Há uma criança correndo no parque.
Há crianças correndo no parque.
Há um pastel de carne no forno.
Há pastéis de carne no forno.

Também devemos usar há quando nos referimos a tempo passado, usando o verbo haver como sinônimo de faz ou tem.

Eu já sou mãe há 15 anos.
Há tanto tempo que não te via!
Estou esperando por você há duas horas!
Há três minutos você ainda não tinha chegado.

O verbo haver apresenta diversas particularidades na sua conjugação. Tendo sua origem na palavra em latim habere, deverá ser sempre escrito com h inicial.

Verbo haver - Presente do indicativo:
(Eu) hei
(Tu) hás
(Ele) há
(Nós) havemos
(Vós) haveis
(Eles) hão

Quando usar à?

Devemos usar à em situações nas quais se justifique o uso da crase, lembrando que para haver crase é necessário que haja a contração de duas vogais iguais. Assim, é necessário que se justifique na oração a presença da preposição a e do artigo definido feminino a.

A contração à antecede sempre uma palavra feminina.

Devemos usar à em expressões que se referem a um lugar:

Vou à padaria e venho já.
Todos os alunos foram à praia depois das aulas.
Vocês já foram à nova loja do shopping?

Nota: Em linguagem corrente, esse à é frequentemente substituído por na: ir na padaria, na praia, na loja,.. Contudo, o mais correto é ir a algum lugar, logo, ir à.

Devemos também usar à para introduzir um objeto indireto ou um complemento nominal.