As duas palavras existem na língua portuguesa. São verbos sinônimos e ambos estão corretos. Esquentar e aquecer se referem, principalmente, ao ato de tornar alguém ou alguma coisa quente, elevando a temperatura.
Esquentar é a palavra mais utilizada no português do Brasil.
Aquecer é a palavra mais utilizada no português de Portugal.
O verbo esquentar tem sua origem na palavra em latim excalentare.
O verbo aquecer tem sua origem na palavra em latim adcalescere.
Esses dois verbos podem ser usados também com o sentido de tornar animado, tornar exaltado e dar conforto, sendo sinônimo de entusiasmar, animar, excitar, irritar, exasperar, encolerizar, consolar, confortar e reconfortar, entre outros.