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A fim ou afim

As duas formas - a fim e afim - existem na língua portuguesa e estão corretas. Porém, seus significados são diferentes e devemos diferenciar as situações em que utilizamos uma ou outra.

A fim

A fim, separado, é utilizado na locução prepositiva a fim de, para indicar um propósito, uma intenção ou uma finalidade, sendo sinônima de: para, com a intenção de, com o propósito de. Em contextos informais, esta locução é muito utilizada com significado de estar com vontade, desejo ou interesse em alguém ou em alguma coisa.

Exemplos de a fim indicando propósito

A aluna estudou muito a fim de tirar boa nota na prova.
Você está contando essa história a fim de me comover, mas não vai conseguir.

Exemplos de a fim indicando interesse

Neste momento eu estou a fim de ficar sozinha.
Pedro está a fim de Laura.

Em algumas situações, a preposição de pode estar subentendida, sendo necessário analisar o contexto em que a frase ocorre.

Exemplos de a fim com a preposição subentendida

Neste momento, não estou a fim! (de alguma coisa, de fazer algo,…)
Acho que você não está muito a fim… (de ver algo, de falar sobre algo,…)

Afim

A palavra afim pode ser um adjetivo ou um substantivo. Enquanto adjetivo, se refere a coisas que são semelhantes, possuindo ligação. É sinônimo de semelhante, parecido, similar, análogo, conforme, próximo, vizinho,… Enquanto substantivo, indica pessoas que são parentes por afinidade ou partidárias. É sinônimo de parente por afinidade, aparentado, adepto, aderente, aliado, entre outras. É maioritariamente utilizado no plural: afins.